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《元史》卷五十七·志第九

作者:明·宋濂等

  ◎历六

  ○庚午元历下△步交会术交终分,一十四万二千三百一十九,秒九千三百六,微二十。交终日,二十七,余一千一百九,秒九千三百六,微二十。

  交中日,一十三,余三千一百六十九,秒四千六百五十三,微一十。交朔日,二,余一千六百六十五,秒六百九十三,微八十。交望日,一十四,余四千二,秒五千。

  秒母,一万。微母,一百。交终度,三百六十三,分七十九,秒三十六。交中度,一百八十一,分八十九,秒六十八。

  交象度,九十,分九十四,秒八十四。半交象度,四十五,分四十七,秒四十二。日食既前限,二千四百。定法,二百四十八。日食既后限,三千一百。定法,三百二十。

  月食限,五千一百。月食既限,一千七百。定法,三百四十。分秒母,皆一百。

  求朔望入交〔先置里差,半之,如九而一,所得依其加减天正朔积分,然后求之。〕

  置天正朔积分,以交终分去之,不尽,如日法而一,为日,不满为余,即得天正十一月中朔入交泛日及余秒。〔便为中朔加时入交泛日及余。〕交朔加之,得次朔。交望加之,得望。再加交望,亦得次朔。各为朔望入交泛日及余秒。〔凡称余秒者,微亦从之,余仿此。〕

  【求定朔及每日夜半入交】

  各置入交泛日及余秒,减去中朔望小余,即为定朔望夜半入交泛日及余秒。若定朔望有进退者,亦进退交日,否则因中为定,大月加二日,小月加一日,余皆加四千一百二十,秒六百九十三,微八十,即次朔夜半入交。累加一日,满交终日及余秒,去之,即每日夜半入交泛日及余秒。

  【求定朔望加时入交】

  置中朔望加时入交泛日及余秒,以入气入转朓朒定数朓减朒加之,即得定朔望加时入交泛日及余秒。【求定朔望加时入交积度及阴阳历】

  置定朔望加时入交泛日,以日法通之,内余进二位,如三万九千一百二十一而一,为度,不满,退除为分秒,即得定朔望加时月行入交积度。以定朔望加时入转迟疾度迟减疾加之,即为月行入定交积度。如交中度以下,为入阳历积度,以上,去之,为入阴历积度。〔每日夜半准此求之。〕

  【求月去黄道度】

  视月入阴阳历积度及分,交象以下,为少象。以上,覆减交中,余为老象。置所入老少象度於上位,列交象度於下,相减,相乘,倍之,退位为分,分满百为度,用减所入老少象度及分。余,又与交中度相减、相乘,八因之,以一百一十除之,为分,分满百为度,即得月去黄道度及分。

  【求朔望加时入交常日及定日】

  置朔望入交泛日,以入气朓朒定数朓减朒加,为入交常日。又置入转朓朒定数,进一位,以一百二十七而一,所得,朓减朒加交常日,为入交定日及余秒。

  【求入交阴阳历交前后分】

  视入交定日,如交中以下,为阳历。以上,去之,为阴历。如一日上下,以日法通日内分,内余为交后分。十三日上下,覆减交中日,余为交前分。

  【求日月食甚定余】

  置朔望入气入转朓朒定数,同名相从,异名相消,以一千三百三十七乘之,以定朔望加时入转算外转定分除之,所得,以朓减朒加中朔望小余,为泛余。日食,视泛余,如半法以下,为中前,半法以上,去之,为中后。置中前后分,与半法相减、相乘,倍之,万约为分,曰时差。中前以时差减泛余,为定余。覆减半法,余为午前分。中后以时差加泛余,为定余。减去半法,余为午后分。月食,视泛余,在日入后夜半前,如日法四分之三以下,减去半法,为酉前分。四分之三以上,覆减日法,余为酉后分。又视泛余,在夜半后日出前者,如日法四分之一以下,为卯前分。四分之一以上,覆减半法,余为卯后分。其卯酉前后分,自相乘,四因,退位,万约为分,以加泛余,为定余。各置定余,以发敛加时法求之,即得日月食甚辰刻及分秒。

  【求日月食甚日行积度】

  置定朔望食甚大小余,与中朔望大小余相减之,余以加减中朔望入气日余,〔以中朔望少加多减。〕即为食甚入气。以加其气中积,为食甚中积。又置食甚入气余,以所入气日损益率〔盈缩之损益。〕乘之,如日法而一,以损益其日盈缩积,盈加缩减食甚中积,即为食甚日行积度及分。先以食甚中积经分为约分,然后加减之,余类此者,依而求之。

  【求气差】

  置日食食甚日行积度及分,满中限去之,余在象限以下,为初限。以上,覆减中限,为末限。皆自相乘,进二位,以四百七十八而一,所得,用减一千七百四十四,余为气差恒数。以午前后分乘之,半昼分除之,所得,以减恒数,为定数。〔如不及减者,覆减为定数,应加者减之,应减者加之。〕春分后,阳历减阴历加。秋分后,阳历加阴历减。〔春分前秋分后,各二日二千一百分为定气,於此宜加减之。〕

  【求刻差】

  置日食食甚日行积度及分,满中限去之,余与中限相减、相乘,进二位,如四百七十八而一,所得,为刻差恒数。以午前后分乘之,日法四分之一除,所得,为定数。〔若在恒数以上者,倍恒数,以所得之数减之,为定数,依其加减。〕冬至后,午前阳加阴减,午后阳减阴加。夏至后,午前阳减阴加,午后阳加阴减。

  【求日食去交前后定分】

  置气刻二差定数,同名相从,异名相消,为食差。依其加减去交前后分,为去交前后定分。视其前后定分,如在阳历,即不食。如在阴历,即有食之。如交前阴历不及减,反减之,〔反减食差。〕为交后阳历。交后阴历不及减,反减之,为交前阳历。即不食。交前阳历不及减,反减之,为交后阴历。交后阳历不及减,反减之,为交前阴历。即日有食之。

  【求日食分】

  视去交前后定分,如二千四百以下,为既前分。以二百四十八除,为大分。二千四百以上,覆减五千五百,〔不足减者不食。〕为既后分。以三百二十除,为大分,不尽,退除为秒。〔其一分以下者,涉交太浅,太阳光盛,或不见食。〕

  【求月食分】

  视去交前后分,〔不用气刻差者。〕一千七百以下者,食既。以上,覆减五千一百,〔不足减者不食。〕余以三百四十除之,为大分。不尽,退除为秒,即月食之分秒。去交分在既限以下,覆减既限,亦以三百四十除之,为既内之大分。

  【求日食定用分】

  置日食之大分,与二十分相减、相乘,又以二千四百五十乘之,如定朔入转算外转定分而一,所得,为定用分。减定余,为初亏分。加定余,为复圆分。各以发敛加时法求之,即得日食三限辰刻也。

  【求月食定用分】

  置月食之大分,与三十五分相减、相乘,又以二千一百乘之,如定望入转算外转定分而一,所得,为定用分。加减定余,为初亏复圆分。各如发敛加时法求之,即得月食三限辰刻。

  月食既者,以既内大分,以一十五分相减相乘,又以四千二百乘之,如定望入转算外转定分而一,所得为既内分。用减定用分,为既外分。置月食定余,减定用分,为初亏分。因加既外分,为食既分。又加既内分,为食甚分。〔即定余分是也。〕再加既内分,为生光分。复加既外分,为复圆分。各以发敛加时法求之,即得月食五限辰刻及分。〔如月食既者,以十分并既内大分,如其法而求其定用分也。〕

  【求月食所入更点】

  置食甚所入日晨分,倍之,五约之,为更法。又五约之,为点法。乃置月食初末诸分,昏分以上者,减昏分。晨分以下者,加晨分。如不满更法,为初更。不满点法,为一点。依法以次求之,即得更点之数。

  【求日食所起】

  食在既前,初起西南,甚於正南,复於东南。食在既后,初起西北,甚於正北,复於东北。其食八分以上者,皆起正西,复正东。〔此据正午地而论之。〕

  【求月食所起】

  月在阳历,初起东北,甚於正北,复於西北。月在阴历,初起东南,甚於正南,复於西南。其食八分以上,皆起正东,复正西。〔此亦据正午地而论之。〕

  求日月出入带食所见分数

  各以食甚小余,与日出入分相减,余为带食差。以乘所食之分,满定用分而一,〔月食既者,以既内分减带食差,余乘所食分,如既外分而一,不及减者,为带食既出入。〕以减所食分,即日月出入带食所见之分。〔其食甚在昼,晨为渐进,昏为已退。食甚在夜,晨为已退,昏为渐进也。〕

  【求日月食甚宿次】

  置日月食甚日行积度,〔望即更加望度。〕以天正冬至加时黄道日度加而命之,依黄道宿次去之,即各得日月食甚宿度及分秒。

  ○步五星术△木星周率,二百八万六千一百四十二,秒九。历率,二千二百六十五万五百五十七。

  历度法,六万二千一十四。周日,三百九十八日八十八分。历度,三百六十五度二十四分九十秒。历中,一百八十二度六十二分四十五秒。

  历策,一十五度二十一分八十七秒。伏见,一十三度。

  〔以下表格略〕△火星周率,四百七万九千四十二,秒一十四半。历率,三百五十九万二千七百五十七,秒四十四少。

  历度法,九千八百三十六半。周日,七百七十九日九十三分一十六秒。历度,三百六十五度二十四分七十五秒。历中,一百八十二度六十二分三十七秒半。

  历策,一十五度二十一分八十六秒。伏见,一十九度。

  〔以下表格略〕△土星周率,一百九十七万七千四百一十一,秒六十九。历率,五千六百二十二万三千二百四十八半。

  历度法,一十五万三千九百二十八。周日,三百七十八日九分二秒。历度,三百六十五度二十五分六十八秒。历中,一百八十二度六十二分八十四秒。

  历策,一十五度二十一分九十秒。伏见,一十七度。

  〔以下表格略〕△金星周率,三百五万三千八百四,秒六十三太。历率,一百九十一万二百四十,秒七十六半。

  历度法,五千二百三十。周日,五百八十三日九十分一十四秒。合日,二百九十一日九十五分七秒。历度,三百六十五度二十四分六十八秒。

  历中,一百八十二度六十二分三十四秒。历策,一十五度二十一分八十六秒。伏见,一十度半。

  〔以下表格略〕△水星周率,六十万六千三十一,秒七十七半。历率,一百九十一万二百四十二,秒一十三半。

  历度法,五千二百三十。周日,一百一十五日八十七分六十秒。合日,五十七日九十三分八十秒。历度,三百六十五度二十四分七十秒。

  历中,一百八十二度六十二分三十五秒。历策,一十五度二十一分八十五秒。晨伏夕见,一十四度。夕伏晨见,一十九度。

  〔以下表格略〕【求五星天正冬至后平合及诸段中积中星】

  置通积分,〔先以里差加减之。〕各以其星周率去之,不尽,为前合分。覆减周率,余为后合分。如日法而一,不满,退除为分秒,即得其星天正冬至后平合中积中星。〔命为日,曰中积。命为度,曰中星。〕以段日累加中积,即为诸段中积。以平度累加中星,经退则减之,即为诸段中星。

  【求五星平合及诸段入历】

  置通积分,各加其星后合分,以历率去之,不尽,各以其历度法除为度,不满,退除为分秒,即为其星平合入历度及分秒。以诸段限度累加之,即得诸段入历度及分秒。

  【求五星平合及诸段盈缩定差】

  各置其星段入历度及分秒,如在历中以下,为盈。以上,减去历中,余为缩。以其星历策除之,为策数。不尽,为入策度及分。命策数算外,以其策损益率乘之,余历策而一,为分,以损益其下盈缩积度,即为其星段盈缩定差。

  【求五星平合及诸段定积】

  各置其星段中积,以其段盈缩定差盈加缩减之,即得其段定积日及分。加天正冬至大余及约分,满纪法,去之,不满,命壬戌算外,即得日辰也。【求五星平合及诸段所在月日】

  各置其段定积,以加天正闰日及约分,以朔策及约分除之,为月数。不尽,为入月以来日数及分。其月数,命天正十一月算外,即得其段入月中朔日数及分。乃以日辰相距,为所在定朔月日。

  【求五星平合及诸段加时定星】

  各置中星,以盈缩定差盈加缩减,〔金星倍之,水星三之,然后加减。〕即为五星诸段定星。以加天正冬至加时黄道日度,依宿次命之,即其星其段加时所在宿度及分秒。

  【求五星诸段初日晨前夜半定星】

  各以其段初行率,乘其段定积日下加时分,百约之,乃顺减退加其日加时定星,即其段初日晨前夜半定星所在宿度及分秒。【求诸段日率度率】

  各以其段日辰,距后段日辰为日率。以其段夜半宿次,与后段夜半宿次相减,余为度率。【求诸段平行分】

  各置其段度率及分秒,以其段日率除之,即得其段平行度日及分秒。【求诸段总差及日差】

  本段前后平行分相减,为其段泛差。〔假令求木星次疾泛差,乃以顺疾顺迟平行分相减,余为次疾泛差,他皆仿此。〕倍而退位,为增减差。加减其段平行分,为初末日行分。〔前多后少者,加为初,减为末。前少后多者,减为初,加为末。〕倍增减差,为总差。以日率减一除之,为日差。

  【求前后伏迟退段增减差】

  前伏者,置后段初日行分,加其日差之半,为末日行分。后伏者,置前段末日行分,加其日差之半,为初日行分。以减伏段平行分,余为增减差。前迟者,置前段末日行分,倍其日差减之,为初日行分。后迟者,置后段初日行分,倍其日差减之,为末日行分。以迟段平行分减之,余为增减差。〔前后近留迟段。〕木火土三星,退行者,六因平行分,退一位,为增减差。金星,前后伏退者,三因平行分,半而退位,为增减差。前退者,置后段初日之行分,以其日差减之,为末日行分。后退者,置前段末日之行分,以其日差减之,为初日行分。以本段平行分减之,余为增减差。水星,平行分为增减差,皆以增减差加减平行分,为初末日行分。〔前多后少,加初减末。前少后多,减初加末。〕又倍增减差为总差,以日率减一,除之,为日差。

  【求每日晨前夜半星行宿次】

  各置其段初日行分,以日差累损益之,〔后少则损之,后多则益之。〕为每日行度及分秒。乃顺加退减之,满宿次去之,即得每日晨前夜半星行宿次。〔视前段末日后段初日行分相较之数,不过一二日差为妙。或多日差数倍,或颠倒不伦,当类同前后增减差稍损益之,使其有伦,然后用之。或前后平行分俱多俱少,则平注之。或总差之秒不盈一分,亦平注之。若有不伦而平注得伦者,亦平注之。〕

  【求五星平合及见伏入气】

  置定积,以气策及约分除之,为气数。不满,为入气日及分秒。命天正冬至算外,即得所求平合及见伏入气日及分秒。【求五星平合及见伏行差】

  各以其段初日星行分与太阳行分相减,余为行差。若金在退行、水在退合者,相并为行差。如水星夕伏晨见者,直以太阳行分为行差。【求五星定合及见伏泛积】

  木火土三星,各以平合晨疾夕伏定积,为定合定见定伏泛积。金水二星,置其段盈缩定差,〔水星倍之。〕各以行差除之,为日,不满,退除为分秒。若在平合夕见晨伏者,盈减缩加。如在退合夕伏晨见,盈加缩减。皆以加减定积为定合定见定伏泛积。

  【求五星定合定积定星】

  木火土三星,各以平合行差除其日太阳盈缩差,为距合差日。以太阳盈缩差减之,为距合差度。日在盈缩,以差日差度减之。在缩历,加之。加减其星定合泛积,为定合定积定星。金水二星,顺合退合,各以平合退合行差,除其日太阳盈缩差,为距合差日。顺加退减太阳盈缩差,为距合差度。顺在盈历,以差日差度加之。在缩历,减之。退在盈历,以差日减之,差度加之。在缩历,以差日加之,差度减之。皆以加减其定星定合再定合泛积,为定合再定合定积定星。以冬至大余及约分加定积,满纪法,去之,命得定合日辰。以冬至加时黄道日度加定星,满宿次,去之,即得定合所在宿次。〔其顺退所在盈缩,即太阳盈缩。〕

  【求木火土三星定见伏定日】

  各置其星定见伏泛积,晨加夕减象限日及分秒。〔半中限为象限。〕如中限以下,自相乘。以上,覆减岁周日及分秒,余亦自相乘。满七十五而一,所得,以其星伏见度乘之,一十五除之,为差。其差,如其段行差而一,为日,不满,退除为分秒。见加伏减泛积,为定积。加命如前,即得日辰。

  【求金水二星定见伏定日】

  各以伏见日行差,除其日太阳盈缩差,为日。若晨伏夕见,日在盈历,加之。在缩历,减之。如夕伏晨见,日在盈缩,减之,在缩历,加之。加减其星泛积,为常积。视常积,如中限以下,为冬至后。以上,去之,余为夏至后。其二至后,如象限以下,自相乘。以上,覆减中限,余亦自相乘。各如法而一为分,〔冬至后晨,夏至后夕,以一十八为法。冬至后夕,夏至后晨,以七十五为法。〕以伏见度乘之,一十五除之,为差。其差,满行差而一,为日,不满,退除为分秒。加减常积,为定积。〔冬至后,晨见夕伏,加之。夕见晨伏,减之。夏至后,晨见夕伏,减之。夕见晨伏,加之。〕加命如前,即得定见伏日辰。

  其水星,夕疾在大暑气初日至立冬气九日三十五分以下者,不见。晨留在大寒气初日至立夏气九日三十五分以下者,不见。春不晨见,秋不夕见者,亦旧历有之。

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